Geode: la nueva herramienta matemática que desafía siglos de álgebra tradicional

 

Los polinomios son expresiones matemáticas que involucran una variable elevada a diferentes potencias, como el caso del polinomio de segundo grado: 1+4x−3×2=01 + 4x – 3x^2 = 01+4x−3×2=0. Estas ecuaciones son fundamentales en matemáticas y ciencia, ya que se aplican para modelar desde el movimiento planetario hasta algoritmos en programación informática.

Sin embargo, resolver polinomios de grado superior —donde la variable se eleva a la quinta potencia o más— ha sido un desafío no resuelto durante siglos. Ahora, el profesor honorario Norman Wildberger, de la Universidad de Nueva Gales del Sur (UNSW), junto con el informático Dr. Dean Rubine, propone una solución innovadora publicada en The American Mathematical Monthly.

EL DESAFÍO DE LOS POLINOMIOS DE GRADO SUPERIOR

Desde la antigüedad, los matemáticos han desarrollado fórmulas para resolver ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado, como la famosa fórmula cuadrática, basada en raíces o “radicales”. No obstante, en 1832, el matemático Évariste Galois demostró que no existe una fórmula general basada en radicales para resolver polinomios de grado cinco o superior, debido a la complejidad de sus simetrías internas.

Desde entonces, se han usado soluciones aproximadas en aplicaciones prácticas. Sin embargo, Wildberger critica estas aproximaciones por alejarse del álgebra pura.

UNA PROPUESTA SIN RAÍCES IRRACIONALES

Según Wildberger, el problema está en el uso de radicales como la raíz cúbica o cuarta, que casi siempre representan números irracionales —decimales infinitos que no se pueden expresar como fracciones exactas—. Para él, estos números se basan en una noción imprecisa del infinito, y por tanto, su uso lleva a inconsistencias lógicas.

Su rechazo a los números irracionales lo llevó previamente a desarrollar nuevas teorías como la trigonometría racional y la geometría hiperbólica universal. Ahora, extiende esta lógica a su nuevo método para resolver polinomios.

En lugar de utilizar radicales, el método se basa en series de potencias, es decir, expresiones que pueden tener infinitos términos con potencias de xxx, pero que se pueden truncar para obtener soluciones numéricas aproximadas. Una prueba clave fue una ecuación cúbica estudiada por John Wallis en el siglo XVII, que el nuevo método resolvió correctamente.

UNA GEOMETRÍA NUMÉRICA INNOVADORA

El núcleo del método de Wildberger está en nuevas secuencias numéricas con raíces geométricas, inspiradas en la combinatoria, una rama de las matemáticas que analiza patrones y estructuras en conjuntos. En particular, toma como punto de partida los conocidos números de Catalan, que cuentan las formas posibles de dividir un polígono en triángulos sin líneas que se crucen.

Wildberger y Rubine amplían esta idea creando versiones multidimensionales de estas secuencias, lo que les permite abordar ecuaciones más complejas. A esta nueva clase de números la llaman Geode, y afirman que representa una extensión lógica y potente de los números de Catalan.

IMPLICACIONES Y APLICACIONES

Según Wildberger, esta es una revisión radical de un capítulo fundamental del álgebra. Con este enfoque, afirma que incluso los polinomios de quinto grado ahora pueden resolverse de manera sistemática. Más allá del valor teórico, este método podría tener aplicaciones muy prácticas, como en el desarrollo de algoritmos que usen series algebraicas en lugar de cálculos con radicales.

Además, el conjunto Geode promete abrir nuevas líneas de investigación en combinatoria y matemáticas aplicadas. “Este es solo el comienzo”, concluye Wildberger. “Esperamos que Geode plantee nuevas preguntas y mantenga ocupados a los matemáticos durante muchos años”.

 

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